Precise Estimates for the Subelliptic Heat Kernel on H-type Groups

We establish precise upper and lower bounds for the subelliptic heat kernel on nilpotent Lie groups G of H-type. Specifically, we show that there exist positive constants C1, C2 and a polynomial correction function Qt on G such that C1Qte − d2 4t ≤ pt ≤ C2Qte d2 4t where pt is the heat kernel, and d the Carnot-Carathéodory distance on G. We also obtain similar bounds on the norm of its subelliptic gradient |∇pt|. Along the way, we record explicit formulas for the distance function d and the subriemannian geodesics of H-type groups. On donne des estimations précises des bornes supérieures et inférieures du noyau de la chaleur souselliptique sur les groupes de Lie nilpotents G de type H. Plus précisément, on montre qu’il existe des constantes positives C1 et C2, et une fonction polynomiale corrective Qt sur G telles que C1Qte −d 4t ≤ pt ≤ C2Qte d2 4t , où pt est le noyau de la chaleur, et d est la distance de Carnot-Carathéodory sur G. On obtient aussi des estimations similaires pour la norme du gradient |∇pt|. En passant, on donne aussi des formules explicites pour la distance d et les géodésiques sous-riemannienes sur les groupes de type H.